주근야투: 퇴근 후 투자 공부

아래는 설명

포트폴리오를 주식, 채권, 금 등 여러 자산으로 구성할 때는 포트폴리오의 기대 수익률과 리스크(변동성)를 알고 싶을 경우가 있다.

기대수익률을 구하는 것은 본능적으로 이해할 수 있다. 이미 실전 주식투자를 할 때 지나간 기간의 손익에 대해서 비슷한 계산을 하고있었을 것이다. 각 자산의 보유 비율 w1, w2, ..., wn이 있을 때 각 자산의 기대수익률에 가중치를 둬서 더해주면 된다.

리스크는 조금 더 어렵다. 리스크는 변동성과 동치는 아니지만(리스크는 더 넓은 개념이다), 리스크를 설명하는데 변동성모델링이 종종 사용되는 것 같다. 포트폴리오의 변동성은 포트폴리오의 분산(variance)으로 모델링 할 수 있겠는데, 분산의 정의에 따라 위와 같이 수식을 전개할 수 있다. 

솔직히 수학을 안한지 너무 오래돼서 진짜 어려웠다. 구글링을 해도 저렇게 간단하게 수식 전개를 해놓은 데를 찾을 수가 없었다. ㅠ 이 쉬운 수식 전개를 하는데 반나절이 걸려서 바보가 된 기분이다. 학생때 선형대수 A도 받았는데. 아 그게 벌써 8년전이네

변동성이라는 것은 포트폴리오의 수익률에 대한 변동성이다. 그리고 그 수익률 데이터(표본)는 결국 각 자산의 과거 히스토리에 의존할 수 밖에 없는 듯 하다. 정의에 따라 Cr은 수익률에대한 공분산 행렬이라고 보면 된다.

결국 포트폴리오 변동성은 여러 편입된 자산들의 비율과 자산간의 공분산 행렬에 좌우된다.

http://www.kafo.or.kr/board_common/file_download.asp?Board_Key=464&File_Key=835&flag=1

이 공분산행렬이 적절하지 않으면 포트폴리오의 리스크 모델링도 잘못된다는 것이다. 그러면 결국 표본부터가 제대로 되어야한다. 위에 링크한 문서처럼 이에 대한 논의는 많이 되고있는것 같다(제대로 읽지는 않음ㅎ) 단순히 과거 수익률을 표본으로 하여 공분산행렬을 만들어야 하는 것인가? 그게 가장 쉽긴 쉬운데, 좀 불완전해보이는 기분을 지울수 없다. Lookback period는 어떻게 정할 것인가? 전체 기간을 보더라도 EMWA(Exponential Weighted Moving Average)를 사용해서 최근 수익률 데이터에 더 가중치를 줄 수도 있지 않을까? 그리고 수익률을 구하기 위한 표본은 어떻게 구할 것인지? 월간 종가 데이터만 갖고? 아니면 중간값? 아니면 좀더 대표값을 잘 추출하기 위한 모델이 존재할까?..

알아봐야 할 것들이 너무 많다.

참고

• https://datascienceschool.net/view-notebook/4135681c2cf1474684cc63f1303fa6c7/

Investopedia: 
변동성은 자산의 가격이 평균가격을 중심으로 얼마나 크게 변동하는지를 나타낸다. 이는 자산의 수익 분산에 대한 통계적 척도인 것이다. 베타계수, 옵션가격결정모형, 수익의 표준편차 등 변동성을 측정하는 몇 가지 방법이 있다. 변동성이 큰 자산은 종종 변동성이 작은 자산보다 더 위험하다고 여겨지는데, 그 이유는 가격 예측 가능성이 낮을 것으로 생각할 수 있기 때문이다.

변동성이란?

증권 가격은 OHLC라고 해서 일정 기간의 시/고/저/종가를 이어붙이는 것으로 묘사할 수 있다. 그것을 시각화 한 것이 흔히들 보는 가격 차트다. 차트를 보면 쉽게 보이듯 증권 가격은 시시때때로 출렁인다. 근데 같은 '주식' 카테고리에 있어도 회사나 업종이 다르면 출렁이는 정도가 다른 것을 볼 수 있다. 이 출렁임의 정도가 투자자들에게는 위험(risk)으로 받아들여지기 때문에, 같은 기대 수익률을 가진 여러 증권이 있다면 가장 위험이 적은 증권이 당연히 더 매력이 있을 것이다(참고: CAPM). 따라서 위험은 정량적으로 파악할 필요가 있다. 계량된 위험을 나는 변동성(volatility)이라고 부르겠다*.

* 이 글을 쓰는 사람은 비전문가/비전공자/투자 초보/일반인입니다. 틀린 부분은 지적 부탁드립니다!!!

어떻게 구할까?

사실 변동성은 꽤 추상적인 개념이어서 필요에 따라, 매매 전략에 따라 정의하기 나름이다.

1.  n일의 |시가 - 종가| / (고가 - 저가) 산술평균

2. ATR 지표

3. 로그 수익률의 표준편차(standard deviation)

4. 기타 등등 내맘대로 만드는 것도 가능

그런데 정석적으로는 3번의 '로그 수익률의 표준편차'를 변동성이라고 정의한다. 구체적으로 말하면 이것은 역사적 또는 사후적(ex-post) 변동성이다. 수 많은 재무론 교과서에서 변동성을 그렇게 정의하고 그것을 토대로 많은 이론을 설명한다더라. 물론 나는 재무론 교과서를 본 적은 없다. 잘은 몰라도 아마 그 근간에는 해리 마코위츠(Harry Markowitz)의 현대 포트폴리오 이론(Modern Portfolio Theory; MPT)이 있을 것이다. 최초의 포트폴리오 이론에서 변동성을 그렇게 정의했고, 충분히 설득력이 있었기 때문일 것이다. 

로그 수익률의 표준편차

먼저 표준편차의 개념과 표준편차를 구하는 방법은 여기를 참고하자. 시간이 많지 않아서...

Investopedia: 
표준편차는 데이터 집합의 평균에 상대적인 분포를 측정하는 통계량이며 분산의 제곱근으로 계산된다. 평균에 상대적인 각 데이터 지점 사이의 변동을 결정하여 분산의 제곱근으로 계산한다. 데이터 점이 평균에서 멀리 떨어져 있으면 데이터 집합 내에서 더 높은 편차가 존재하기 때문에 데이터가 더 많이 분산될수록 표준 편차가 커진다.

표준편차를 변동성의 대표값으로 사용하는 데는 로그 수익률의 분포가 정규분포(normal distribution)를 따른다는 가정이 필요하다. 즉 과거를 바탕으로 앞으로 나타날 수익률의 약 68.3%정도는 기대 수익률(기대값)의 ±1 표준편차 이내로 발생하고, 약 95%정도는 ±2 표준편차 이내에 발생한다는 얘기다.

숫자를 들어 설명해보자. 자본금이 $50000이 있다 치고, 내가 투자할 자산의 연간 변동성(로그 수익률의 표준편차)이 30%라 하고, 수익률이 정규분포를 따른다면 1년 뒤의 수익금이 $65000~$35000 이내로 변할 확률이 68%쯤 된다.

반대로, 흔히 얘기하는 '위험 감내도'를 30%로 설정한다는 것은 보통 'MDD(Max Drawdown) 30%까지 버틸수 있다'는 얘기겠지만, 실제 체감상 감내할 수 있는 변동성은 그보다 낮을 것이다. 그 자산이 30%안쪽으로 변할 확률은 68%정도 밖에 안되기 때문이다. 

쓰다 보니 단순히 표준편차에 대해서도 생각할게 많아서 파이썬 구현은 다음에 해야겠다. 별 거 없는 내용일거라 생각했는데 꽤 의미있는 복습이었다.